Paul Handschke wurde 1993 in München geboren. Im Alter von fünf Jahren bekam er seinen ersten Cellounterricht bei Stefan Bohn, später wurde er von Michael Weiß und David Grigorian unterrichtet. Von 2012 bis 2018 studierte er bei Thomas Grossenbacher an der Zürcher Hochschule der Künste. Zusätzlich hat er an Meisterkursen bei renommierten Cellopädagogen wie Wen-Sinn Yang, Wolfgang Emanuel Schmidt, Jens Peter Maintz und David Geringas teilgenommen.
Er gewann mehrere Preise beim Wettbewerb „Jugend Musiziert“ auf Bundesebene in den Kategorien „Violoncello solo“ und „Streichquartett“ sowie erste Preise bei Wettbewerben für Jugendkammerorchester und wurde mit dem Förderpreis des Vereins Pasinger Mariensäule e.V. ausgezeichnet. 2016 erhielt er den Förderpreis und ein Stipendium beim Oberstdorfer Musiksommer sowie einen Studienpreis von Migros Kulturprozent. Im darauffolgenden Jahr wurde er durch die Verlängerung des Studienpreises mit der Aufnahme in die Konzertvermittlung bedacht.
In der Saison 2014/2015 hatte Paul Handschke einen Zeitvertrag im Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks und in der Saison 2015/2016 war er als Praktikant im Tonhalle-Orchester Zürich tätig. Ausserdem ist er u. a. Zuzüger im Zürcher Kammerorchester und im Sinfonieorchester St. Gallen. Durch diese zahlreichen Engagements hatte er bereits die Möglichkeit, unter grossen Dirigenten wie Mariss Jansons, Herbert Blomstedt, John Eliot Gardiner, Neville Marriner und Franz Welser-Möst zu spielen. Im März 2018 trat er eine feste Stelle im Tonhalle-Orchester Zürich an.